微分法 平均変化率と微分係数
〔平均変化率〕 関数 y=f(x) の x の値が, a から b まで変わるとき, x の値の変化 b - a に対する y の値の変化 f(b) - f(a) の割合を
x の値が a から b まで変わるときの f(x) の平均変化率 = という。
[問1] x の値が a から b まで変わるときの,次の関数の平均変化率を求めよ。
a
b
平均変化率
a
b
平均変化率 1
3
* のグラフ上で,点P,Q間の平均変化率は,点P,Qを結ぶ直線の[ ]を意味する。
[問2] のグラフ上で,点Qを点Pにどんどん近づけると,点P,Qを通る直線は,曲線
と,どんな位置関係になっていくか。
* 曲線上の1点,点Pだけを共有する直線を,点Pにおける[ ]という。
点Pにおける[ ]の傾きは,2点P,Qのうち点Qを限りなく点[ ]に近づけたとき,平均変化率が近づくある一定の値([ ]値)として求められる。
この極限値のことを,点P(a,f(a))における変化率(いわば,点Pにおける瞬間の変化率と考えることができる)といい,[ ]係数と呼ぶ。
点P(a,f(a))における[ ]係数は,f’(a)と書き,グラフ上の意味は,点Pにおける接線の[ ]である。
[問3] ある高さから,ボールを静かに離して落下させる。 x 秒後の落下した距離を f(x) m とすると,
の関係がある。 ただし,空気の抵抗は無視する。
(1) x の値が 次の数値をとるとき,落下した距離 f(x) m と,その間の f(x) の平均変化率をGrapesを使って求めよ。(いくつかの値について,自分でも計算をして確かめてみよ。)
x 秒 | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | 1.1 | ||||||||||||
平均変化率 |
(2) x の値が a から b まで変わるときの,この関数 f(x) の平均変化率は何を表しているか。
(3) x の値が ,次のa から b まで変わるとき,その間の f(x) の平均変化率をGrapesを使って求めよ。
x | a | b | a | b | a | b | a | b | a | b | a | b | ||||||||||||
x | 0.1 | 0.15 | 0.1 | 0.11 | 0.1 | 0.101 | 0.1 | 0.1001 | 0.1 | 0.10001 | 0.1 | 0.100001 | ||||||||||||
平均変化率 |
(4) (3)で,a と b の値の差を 0.1 → 0.05 → 0.01→ 0.001 と,どんどん小さくすると, f(x) の平均変化率は何を表すと考えられるか。
[今日の授業の感想] 年 組 番 氏名
授業の理解度: A B C | 授業への参加度: A B C |
感想 |